1.3.4 Optimización
La Optimizacion es un área de
la matemática aplicada que permite modelar y resolver problemas de la vida
real; sus principios y métodos se usan para resolver problemas cuantitativos en
diferentes disciplinas. El objetivo principal de la Optimizacion es la mejor utilización
de los recursos disponibles para cumplir una determinada tarea.
Pasos para la resolución de problemas
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del
problema, en el caso de que haya más de una variable.
3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de
modo que nos quede una sola variable.
4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos
locales.
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
Problema 1
Tenemos una hoja de medidas 28cm largo y 22 cm de ancho, encontrar las
medidas para que se pueda obtener el volumen máximo al formar una caja sin
tapa.
Formula del Volumen
V= L x A x H
Supongamos que X = 3 por lo tanto el V= (22 cm)(16cm)(3cm) = 1056cm
Sabiendo lo anterior podemos crear una función f(x)
F(x)= (28 -2x) (22-2x) x
Realizamos el producto
F(X)= 616x -56x2 -44x2 +4x3
Agrupamos términos semejantes y nos queda lo siguiente
F(x)= 4x3 -100x2 +616x
Derivamos
F’(x)= 12x2 -200x +616
X1 = 12.58
X2 =
4.07
F’’(x)= 24x – 200
V’’ (12.58)= 101.92 > 0 mínimo
V’’ (4.07)=
-102.37 <0 máximo
V (4.07)=
(28-2(4.07)) (22-2(4.07)) (4.07) = 1120.3 m3
Problema 2
Hallar dos
números de productos mínimo y diferencia igual a 100
Sean X y Y 2
números
F(x)= P= x . y
Sabemos que
entre X y Y existe una diferencia de 100
x – y = 100
Despejamos a
x, y nos queda lo siguiente
x=100+y
Teniendo en
cuenta que x= 100 + y sustituimos este valor en F(x) para que todo quede en
relación a una variable
F (y)= (100 +
y) (y)
F (y)= y2
+ 100y
Derivamos
F (y)= 2y +
100
2y + 100 = 0
y = -100 / 2
y = -50
Sustituimos en
x – y = 100 sabiendo que y = -50
x - (-50) =100
x = 100 -50
x = 50
P = 50 * (-50)
P -2500
Problema 3
Un granjero tiene 750 pies de cerca y desea cerrar un área rectangular
y dividirla en 4 corrales colocando cercas paralelas a uno de los lados del
rectángulo cual es el área total máxima de los 4 corrales.
F(x) = A = x * y
750 = 5x + 2y
Despejamos y
Y= (750 -5x) * ½
Y= 350 -5/2x
Sustituimos el valor de y en f(x)
F(x)= x * (375 – 5/2x)
F(x)= 375x - 5/2x2
Derivamos
F’(x)= -5x + 375
x = 375 / 5
x = 75 ft
Sustituimos en 5x + 2y = 750ft sabiendo que x = 75
5*75 + 2y = 750
y = (750 - 375) /2
y = 187.5 tf
A = x * y = 75ft *
187.5ft = 14,062.5 ft2
Problema 4
Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro
de 100m cuya área sea lo más grande posible.
 |
Y
X
Formula del Perímetro
2x + 2y = 100
Formula del Área
A= x * y
Despejamos a y en la fórmula del
perímetro
x = 100 - 2y / 2
x=
50 - y
Sustituyendo en la Formula del Área
f(x)= A = x * y
F (x) = (50 - y) * y = -y2 +50y
F’ (x) = -2y + 50 = 0
y = -50/-2 = 25
Teniendo el valor de y=25 sustituimos
en nuestra formula del perímetro para poder saber el valor de x
2x + 2y = 100
2x +2*25 = 100
x = (100 - 50) / 2
x = 25
A= x*Y = 25 * 25 =
625 cm2
Problema 5
Un granjero quiere cerrar un área
de 1.5millones de pies cuadrados de un campo rectangular, luego dividirla la mitad mediante una cerca paralela a uno de
los lados del rectángulo. ¿De que manera debe hacerlo para que los costos de la
cera sean mínimos?
Sabemos que la fórmula del área de un triángulo es:
A = x * y
Conocemos el A= 1.5millones
1 500 000 = x * y
El perímetro es la suma de los lados
3y + 2x =?
Despejamos a ‘y’ de la fórmula del área y tenemos lo
siguiente
x = A/y
Por lo tanto sustituimos a ‘y’ en la fórmula del perímetro
para dejar toda la expresión en términos de una sola variable
F (x) = 3(A/y) + 2x
F (x) = 4 500 000 / y + 2x
F’ (x) = 4 500 000 / y2 + 2 = 0
Y2 = 4 500 000 / 2
Y
= 1 500 ------> Lado 1
Sustituimos en la fórmula del Área sabiendo el valor de y.
Por lo tanto queda lo siguiente
x * y = 1 500 000
x = 1 500 000 / 1 500
x
= 1 000 -----> Lado 2
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