1.3.1 EXTREMOS DE UNA FUNCION

1.3.1 EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

Definición (Valores Extremos)

Sea f definida en un intervalo I conteniendo a c.

1.       f(c) es el mínimo de f en I sí f(c) <=  f(x) para todo x en I.

2.       f(c) es el máximo de f en I sí f(c) >=  f(x) para todo x en I.

El mínimo y el máximo de una función se llaman valores extremos o extremos de la función en ese intervalo.

Observaciones

1.    A los valores extremos, se les llama mínimo y máximo absolutos si se cumple la desigualdad correspondiente para todo x en el dominio de f.

2.     ¿Tiene f un valor máximo o mínimo en I? Una función puede no tener mínimo o máximo

en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos.

Ejemplo

Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máximo al 

 cambiar el intervalo cerrado [-1,2] por el abierto (-1,2)

En los gráficos, observamos que una discontinuidad (x = 0) puede afectar la existencia de extremos sobre un intervalo cerrado o abierto.

El siguiente enunciado se trata de un teorema de existencia, pues asegura que existe el máximo y el mínimo, pero no dice cómo calcularlos.

Teorema de Valor Extremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene máximo y mínimo en el intervalo.

Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito. Algunos de ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo:

·        [a, b] contiene a sus puntos frontera.

·        [a, b) contiene sólo al punto frontera de la izquierda.

·        (a, b] contiene sólo al punto frontera de la derecha.

·        (a, b) no contiene puntos frontera.

A menudo los extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan en

puntos frontera. Si c es un punto para el cual   f ' (c) = 0, lo llamamos punto estacionario.

Los valores extremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si c es un punto interior a I en el que no existe f´, lo llamamos punto singular. Es un punto en que la gráfica de f tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto. Los valores extremos pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos, son la clave de la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de f que sea uno de estos tres tipos se llama punto crítico de f.

Definición de Número Crítico. Si f está definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f(c) es un valor extremo entonces c debe ser un punto crítico de f; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos siguientes: (a) un punto frontera, (b) un punto estacionario de        f ( f '(c) = 0 ) y (c) un punto singular de f en el que f '(c) no exista.

Extremos Relativos

En la figura siguiente observamos que los valores extremos pueden ocurrir en puntos interiores o terminales (fronteras) de un intervalo. Estos últimos se llaman extremos terminales y los que ocurren en puntos interiores se llaman extremos relativos.

Definición de Extremos Relativos.

1.   Un máximo relativo (o máximo local) en el punto c si existe un d > 0 tal que f(c) ³ f(x), para todo xΠ(c-d, c+d).

2.   Un mínimo relativo (o mínimo local) en un punto c si existe un d > 0 tal que f(c) £ f(x), para todo xΠ(c-d, c+d).

Los máximos y mínimos relativos de f reciben el nombre común de extremos relativos de f.

Ejemplo

En la gráfica vemos que f tiene un máximo en algunos puntos respecto a ciertos intervalos y no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además, parece que la manera de obligar a esos puntos a ser extremos es escoger intervalos suficientemente pequeños para producir una colina local o un valle. Esta es la idea esencial de la definición anterior. La colina más alta corresponde al máximo absoluto de f y el valle más profundo corresponde al mínimo absoluto. Las otras colinas y los otros valles corresponden a los máximos locales.

Un máximo local o un mínimo local, son un máximo o un mínimo, sólo para una parte del dominio de la función.

Teorema (Teorema del punto crítico para extremos locales).

Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.

Hallar Extremos de un Intervalo Cerrado.

Para hallar los extremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b], se sugiere:

1.     Evaluar f en cada punto crítico que tenga en (a, b).

2.     Evaluar f en los puntos a y b.

3.     El menor de tales valores es el mínimo; el mayor es el máximo.

Funciones Crecientes y Decrecientes

Definiciones

1.      Una función f se dice que es creciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números x₁ y x₂ en el intervalo, x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂).

2.      Una función f se dice decreciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números x₁ y x₂ en el intervalo, x₁ < x₂ implica f(x₁) > f(x₂).

3.      Una función f es estrictamente monótona sobre el intervalo I si y solo si es creciente o decreciente sobre I.

De esta definición vemos que f es creciente si su gráfica asciende al mover x hacia la derecha y es decreciente si desciende al mover x hacia la derecha.

La derivada va a determinar cuándo una función es creciente, pues como lo indica la figura:

•  Una   derivada positiva indica que la pendiente de la gráfica asciende.

•  Una derivada negativa produce pendiente en descenso.

•  Una derivada nula implica que la función es constante.

Teorema (Criterio para funciones crecientes y decrecientes).

Sea f una función derivable en el intervalo (a, b).

1.     Si  f '(x) > 0 para todo x en (a, b) entonces f es creciente en (a, b).

2.     Si  f '(x) < 0 para todo x en (a, b) entonces f es decreciente en (a, b).

3.     Si  f '(x) = 0 para todo x en (a, b) entonces f es constante en (a, b).