1.2.1 Aplicaciones de la diferencial y determinación de errores

 

   

 1.2.1.- Aplicaciones de la diferencial y determinación de errores

Aplicación de la diferencial

f (x + ∆x) ≈ f(x) + f '(x) dx

a) Encuentre el resultado de la siguiente raíz: √25.4

    f (x)= √x

    f '(x)= 1/ 2√x

    dx= 0.4

               √25 + 1/ 2√25 * 0.4=    5 + 4/100=  5.04

b) Encuentre el resultado de la siguiente raíz: √37= √36+1

    f (x)= √x

    f '(x)= 1/ 2√x

    dx= 1

               √36 + 1/ 2√26 * 1=    6 + 1/12=  6.08

c) Encuentre el resultado de la siguiente raíz: 1/√96= 1/√100-4

    f (x)= 1/ √x

    f '(x)= -1/2 x^-3/2

    dx= -4

                1/ √100 - 1/2 (100)^-3/2 * -4 ≈ 0.102

Determinación de errores

Error absoluto o máximo se obtiene mediante: Valor real - Valor aproximado

Error relativo= Error absoluto/ Error real

Para una mejor compresión se presentarán los siguientes ejemplos: 

1.- √25.4

     Error absoluto= Error calculado (5.0398) - Error obtenido (5.04) = -0.002

                            Error relativo= -0.002/5.0398= 0.00004
                            Porcentaje de error: 0.0004 x 100= 0.004%

2.- 1/√96

      Error absoluto= Error calculado (0.102062) - Error obtenido (0.102) = -0.000062

                             Error relativo= -0.000062/0.102062= 0.0006074
                             Porcentaje de error: 0.0006074 x 100= 0.06074

3.- La medida efectuada al lado de un cubo es de 30 cm, con un error posible de +-0.02 cm.

     ¿Cual es el error máximo posible aproximado del volumen y el error relativo?

     V= x³              Error absoluto= Error calculado (30)³ - Error obtenido (30+0.02)³ =

                                                       27000 - 27054.04= -54.04

                            Error relativo= -54.04/27000= -0.002

     En éste ejercicio llegaremos al mismo resultado pero ésta vez usando la diferencial:

     y= x³                                    

     x= 30cm                                       

     dy= 3x²

     dy/y= (3x²dx) / x³ =        3dx/x=      (3 * 0.02)/30=     +- 0.002

4.- Se midió el radio de una esfera y se encontró que es de 21 cm con un posible error de medición de cuanto mucho 0.05 cm. ¿Cual es el error relativo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera?.

     r= 21cm 

     y= 4/3 π r³                                                                      

     dy= 4 π r² dr

     ∆r = dr = 0.05 cm

     dy/y= (4 π (21)² dr) / 4/3 π (21)³  =        277.089 / 38792.47= 0.0071428 cm

5.- Si el radio de un disco circular como de 24 cm con un error máximo en la medición de 0.2 cm.

     a) Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el área del disco.

     b) Cual es el error relativo y el porcentaje de error

     r= 24cm 

     y= π r²                                                                     

     dy= 2 π r dr

     dr = 0.2 cm

     dy/y= (2 π (24) (0.2)) / π (21)² =       30.15 / 1809.56= 0.016cm       0.016 x 100= 1.6%

6.- La circunferencia de una esfera se midió como 84 cm, con un error posible de 0.5 cm.

     a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área superficial calculada .

     ¿Cual es el error relativo?

     84= 2 π r     r= 84/ 2 π    r= 13.36

     r= 13.36 

     dp= 0.5 cm

     dp= 2 π dr    ---->    dr = 0.5 / 2 π     dr= 0.079

     y= 4 π r²

     dy= 8 π r dr

     dy/y= (8 π (13.36) (0.079)) / 4  π (13.36)²=   26.52 / 2242.96646= 0.0118

     b) Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado.

     r= 13.36

     y= 4/3 π r³                                                                      

     dy= 4 π r² dr

     dy/y= (4 π (13.36)²( 0.079)) / 4/3 π (13.36)³=    177.19435 /  9988.67732= 0.0177