1.2 Diferencial de una función

1.2 Diferencial de una función

Al incremento de la variable independiente x se le llama dx, a la función f(x)dx se le llama diferencial de y o dy.

f' (x)∆x=f' (x)dx=dy

Se observa que ∆x=dx, pero  ∆y≠dy. Recordemos que ∆y representa el incremento de la función.

∆y=f(x+∆x)-f(x)

Por lo que ∆y≈dy

De esta forma f(x+∆x)=f(x)+∆y

Pero como ∆y≈dy 

f(x+∆x)≈f(x)+f''(x)dx

Ejemplos

1) Determine el valor aproximado de √25.4

√25.4=f(x+ ∆x) 

f(x)= √x       ⇒  f '(x)=1/(2√x)

x=5             ⇒   ∆x=dx=0.4  

f(x+∆x)≈f(x)+f ' (x)dx

√25.4  ≈ √25+0.4/(2√25)

√25.4  ≈ 5+(4/10)/10

√25.4  ≈ 5+4/100

√25.4 ≈ 5.04

2) Determine el valor aproximado de √37

√37=f(x+ ∆x)

f(x)= √x        ⇒      f''(x)=1/(2√x)

x=6              ⇒      ∆x=dx=1  

f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)dx

√37  ≈ √36+1/(2√36)

√37  ≈ 6+1/12

√37  ≈ 6+0.83

√37  ≈ 6.83

3) Determine el valor aproximado de 1/√96

1/√96=f(x+ ∆x) 

f(x)=  1/√x      ⇒       f '(x)=-1/(2√(x^3 ))

x=100            ⇒       ∆x=dx=-4  

f(x+∆x)≈f(x)+f^' (x)dx

1/√96  ≈  1/√100-1/[2√((100)^3 )](-4)

1/√96  ≈ 0.1- [(5×10)^(-4)] (-4)

1/√96  ≈ 0.1+(2×10)^(-3)

1/√96  ≈ 0.102