1.3 Máximo
y mínimo.
Una función tiene un máximo absoluto en c, si f(c) >f (x) para toda x
que pertenece a D, donde D es el dominio de la función. De manera análoga f
tiene un mínimo absoluto en D, si f(c) < f(x) para toda x que pertenece a D.
De acuerdo a la gráfica
Una función posee un máximo relativo o local si f(c) > f(x) cuando
está en un intervalo que contiene a c. De forma similar tiene un mínimo local
si f(c) < f(x), cuando está en un intervalo que contiene a c.
En la gráfica f(a) > f(x) es un máximo local en el intervalo [P,B).
En la gráfica f(d) < f(x) es un mínimo local en el intervalo [C,Q).
Si la derivada es positiva la función es ascendente f(x) > 0.
Si la derivada es negativa la función es ascendente f(x) < 0.
Si f´(x) cambia de + a – la sunción tiene un máximo.
Si f´(x) cambia de - a + la sunción tiene un mínimo.
Ejemplo:
Dada la función f(x)= 3x4 - 4x3 -12x2 +
5, determine los puntos máximos y mínimos, así como los intervalos donde crece
la función y donde decrece.
Grafique.
1.3.2 Criterio de la primera derivada.
1) Derivar la función:
f´(x)= 12x3 – 12x2 –
24x
2) Igualar a 0 f´(x) y resolver para x.
12x3 – 12x2 – 24x=0
12x (x2-x-2)=0
12x=0
X1=0
(x-2)(x+1)=0
x-2=0
x2=2
x+1=0
x3= -1
3)
Dividir la
recta real en intervalos de acuerdo a X1, X2, y X3.
Intervalos donde la función crece y decrece.
Crece en (-1,0)
U (2,∞)
Decrece en (-∞,-1) U (0,2)
5) Criterio de la segunda derivada.
f ``(x)=36x2-24x-24
6) Igualar a 0 y resolver para x.
36x2-24x-24=0
X1= 1.21
X2= -0.55
CA= Cóncava hacia arriba en (-∞,-0.55) U (1.21∞,)
Si f ``(x) es positiva entonces f ``(x) > 0 entonces CA
Si f ``(x) es negativa entonces f ``(x) < 0 entonces CAB
Si f ``(x) cambia de + a – o de – a + f(x) tiene puntos de
inflexión.
8)
Graficar.
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