1.1 RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS 

RAZÓN DE CAMBIO

Una razón de cambio es una medida en la cual una variable se modifica con relación a otra.

DERIVADAS

• Como límite:

Mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática

• Geométrico

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto 

PENDIENTE DE LA RECTA

Ejemplo:

Tenemos una función, evaluada en un punto      

f(x) = 3x^3 +6x^2 -2x +8           P(2,4)

Se deriva...

f'(x)=9x^2+12x-2

Evaluando...

f'(2)=9(2) ^2 + 12 (2) -2

f'(2)=58


VELOCIDAD DE CAMBIO DE UN CUBO

L









De un cubo de lado L=5 se quiere saber a que razón cambia su volumen a razón de 2cm/s 

Se realiza la derivada

dl/dt= 2cm/s

El volumen de un cubo se obtiene:

v=L^3

Se derivará el volumen respecto al tiempo 

dv/dt =|L=5cm 3L^2 dl/dt 

Evaluando con el valor la medida del cubo (5) 

3(5cm)^2(2)cm/s=

150 cm^3 /seg. Y esta es la respuesta :D


RAZONES CAMBIO RELACIONADOS

• Es la razón de extremos como el cociente de 2 cantidades
• La razón de cambio se expresa como la comparación de 2 variables a través de un cociente.

Establecemos una relación entre razones y la relación siempre es con respecto al tiempo.

Ejemplos:

• Si A es el área de un circulo con radio "r". Encuentre la razón en el tiempo

Desarrollo:

Utilizando la fórmula de el área de un círculo:

pi=3.1416...

A="pi"r^2

Derivando respecto al radio...

dA/dr =2(pi)(r)

dA/dt= dA /dr  (dr/dt)

dA/dt= 2(pi) (r)  (dr/dt)  respuesta :D

• ¿A qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante que la crista mide 5cm?

Utilizando la fórmula del volumen de un cubo...

V = l^3
Derivando...

dV/dt= 3l^2

Cambia las medidas...

dl/dt = 2cm/seg

Desarrollando...

dl/dt=dv/dl (dl/dt) =3l ^2 (2)

dV/dt= 3(5cm)^2 (2cm/seg) = 150 cm^3 /seg respuesta ;D

•  Un globo esférico se infla con aire a razón de 20 pes^3 /mm ¿En qué razón cambia el radio cuando éste es de 3 pies?

Bueno, utilizando el radio se deriva respecto al tiempo...

dr/dt

Utilizando la formula de volumen par una esféra....

V=4/3 (pi) (r^3)

Derivando...

dV/dt = [4 (pi) (r^2) ] (dr/dt)

Despejando... dr/dt y sustituyendo en la primera derivada

20=4(pi) (r^2) (dr/dt)

dr/dt =20/4(pi) (r^2)

dr/dt = 5/ (pi) (r^2)

dr/dt= 5/[(pi) ( 3^2)] = 5/[pi (9)]

dr/dt = 0.18 pies /mm     ---->Respuesta xD