1.3.4 Optimizacion

1.3.4 Optimización

La Optimizacion es un área de la matemática aplicada que permite modelar y resolver problemas de la vida real; sus principios y métodos se usan para resolver problemas cuantitativos en diferentes disciplinas. El objetivo principal de la Optimizacion es la mejor utilización de los recursos disponibles para cumplir una determinada tarea.

Pasos para la resolución de problemas

     1.   Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2.   Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.   Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4.   Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5.   Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Problema 1

Tenemos una hoja de medidas 28cm largo y 22 cm de ancho, encontrar las medidas para que se pueda obtener el volumen máximo al formar una caja sin tapa.

Formula del Volumen

V= L x A x H    

Supongamos que X = 3 por lo tanto el V= (22 cm)(16cm)(3cm) = 1056cm

Sabiendo lo anterior podemos crear una función f(x)

F(x)= (28 -2x) (22-2x) x

Realizamos el producto

F(X)= 616x -56x² -44x² +4x³

Agrupamos términos semejantes y nos queda lo siguiente

F(x)= 4x³ -100x² +616x

Derivamos

F’(x)= 12x² -200x +616

X₁ = 12.58

X₂ = 4.07

F’’(x)= 24x – 200

V’’ (12.58)= 101.92  > 0 mínimo

V’’ (4.07)= -102.37 <0 máximo

V (4.07)= (28-2(4.07)) (22-2(4.07)) (4.07) = 1120.3 m³

Problema 2

Hallar dos números de productos mínimo y diferencia igual a 100

Sean X y Y 2 números

F(x)=  P= x ^. y

Sabemos que entre X y Y existe una diferencia de 100

x – y = 100

Despejamos a x, y nos queda lo siguiente

x=100+y

Teniendo en cuenta que x= 100 + y sustituimos este valor en F(x) para que todo quede en relación a una variable

F (y)= (100 + y) (y)

F (y)= y² + 100y

Derivamos

F (y)= 2y + 100

2y + 100 = 0

y = -100 / 2

y = -50

Sustituimos en x – y = 100 sabiendo que y = -50

x - (-50) =100

x = 100 -50

x = 50

P = 50 * (-50)

P -2500

Problema 3

Un granjero tiene 750 pies de cerca y desea cerrar un área rectangular y dividirla en 4 corrales colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo cual es el área total máxima de los 4 corrales.

F(x) = A =  x * y

750 = 5x + 2y

Despejamos y

Y= (750 -5x) * ½

Y= 350 -5/2x

Sustituimos el valor de y en f(x)

F(x)= x * (375 – 5/2x)

F(x)= 375x - 5/2x²  

Derivamos

F’(x)= -5x + 375

x = 375 / 5

x = 75 ft

Sustituimos en 5x + 2y = 750ft  sabiendo que x = 75

5*75 + 2y = 750

y = (750 - 375) /2

y = 187.5 tf

A = x * y = 75ft * 187.5ft = 14,062.5 ft²

Problema 4

Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100m cuya área sea lo más grande posible.

 

 Y

X

Formula del Perímetro

2x + 2y = 100

Formula del Área

A= x * y

Despejamos a y en la fórmula del perímetro

x = 100 - 2y  / 2

x=  50 - y

Sustituyendo en la Formula del Área f(x)= A = x * y

F (x) = (50 - y) * y = -y² +50y

F’ (x) = -2y + 50 = 0

y = -50/-2 = 25

Teniendo el valor de y=25 sustituimos en nuestra formula del perímetro para poder saber el valor de x

2x + 2y = 100

2x +2*25 = 100

x = (100 - 50) / 2

x = 25

A= x*Y = 25 * 25 = 625 cm²

Problema 5

Un granjero quiere cerrar un área de 1.5millones de pies cuadrados de un campo rectangular, luego dividirla  la mitad mediante una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿De que manera debe hacerlo para que los costos de la cera sean mínimos?

                                         

Sabemos que la fórmula del área de un triángulo es:

A = x * y

Conocemos el A= 1.5millones

1 500 000 = x * y

El perímetro es la suma de los lados

3y + 2x =?

Despejamos a ‘y’ de la fórmula del área y tenemos lo siguiente

x = A/y

Por lo tanto sustituimos a ‘y’ en la fórmula del perímetro para dejar toda la expresión en términos de una sola variable

F (x) = 3(A/y) + 2x

F (x) = 4 500 000 / y + 2x

F’ (x) = 4 500 000 / y² + 2 = 0

Y² = 4 500 000 / 2

Y = 1 500  ------> Lado 1

Sustituimos en la fórmula del Área sabiendo el valor de y. Por lo tanto queda lo siguiente

x * y = 1 500 000

x = 1 500 000 / 1 500

x = 1 000  -----> Lado 2

1.3.3 Concavidad y criterio de la segunda derivada

Paso 1 "Volver a derivar"

 f "(x)= 36x3 – 24x2 – 24x

Paso 2 “Igualar a cero y resolver para x

36x2 – 24x – 24=0

12(3x2– 2x-2)/3=0/3 => x2-2x/3 – 2/3=0

(Aplicando la formula general) 

X1= 1.21            X2= -0.55

Paso 3 "Dividir la recta real en intervalos de acuerdo a X1 y X2"

F”(-1)= 36+24-24>0                 (-1,0) Mínimo

F”(0)= -24<0                           (0,5) Máximo
F”(2)= + >0                             (2,27) Mínimo

Si f '(x)=0 y f "(x)>0, la función tiene un máximo.

Si f '(x)=0 y f "(x)<0, la función tiene un mínimo.

Si f "(x)>0 => f(x) es CA.

Si f "(x)<0 => f(x) es CAB.

Si f "(x) cambia de + a - + ó de - a +, entonces f(x) tiene un Punto de Inflexión, 

1.3.1 EXTREMOS DE UNA FUNCION

1.3.1 EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

Definición (Valores Extremos)

Sea f definida en un intervalo I conteniendo a c.

1.       f(c) es el mínimo de f en I sí f(c) <=  f(x) para todo x en I.

2.       f(c) es el máximo de f en I sí f(c) >=  f(x) para todo x en I.

El mínimo y el máximo de una función se llaman valores extremos o extremos de la función en ese intervalo.

Observaciones

1.    A los valores extremos, se les llama mínimo y máximo absolutos si se cumple la desigualdad correspondiente para todo x en el dominio de f.

2.     ¿Tiene f un valor máximo o mínimo en I? Una función puede no tener mínimo o máximo

en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos.

Ejemplo

Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máximo al 

 cambiar el intervalo cerrado [-1,2] por el abierto (-1,2)

En los gráficos, observamos que una discontinuidad (x = 0) puede afectar la existencia de extremos sobre un intervalo cerrado o abierto.

El siguiente enunciado se trata de un teorema de existencia, pues asegura que existe el máximo y el mínimo, pero no dice cómo calcularlos.

Teorema de Valor Extremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene máximo y mínimo en el intervalo.

Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito. Algunos de ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo:

·        [a, b] contiene a sus puntos frontera.

·        [a, b) contiene sólo al punto frontera de la izquierda.

·        (a, b] contiene sólo al punto frontera de la derecha.

·        (a, b) no contiene puntos frontera.

A menudo los extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan en

puntos frontera. Si c es un punto para el cual   f ' (c) = 0, lo llamamos punto estacionario.

Los valores extremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si c es un punto interior a I en el que no existe f´, lo llamamos punto singular. Es un punto en que la gráfica de f tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto. Los valores extremos pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos, son la clave de la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de f que sea uno de estos tres tipos se llama punto crítico de f.

Definición de Número Crítico. Si f está definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f(c) es un valor extremo entonces c debe ser un punto crítico de f; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos siguientes: (a) un punto frontera, (b) un punto estacionario de        f ( f '(c) = 0 ) y (c) un punto singular de f en el que f '(c) no exista.

Extremos Relativos

En la figura siguiente observamos que los valores extremos pueden ocurrir en puntos interiores o terminales (fronteras) de un intervalo. Estos últimos se llaman extremos terminales y los que ocurren en puntos interiores se llaman extremos relativos.

Definición de Extremos Relativos.

1.   Un máximo relativo (o máximo local) en el punto c si existe un d > 0 tal que f(c) ³ f(x), para todo xΠ(c-d, c+d).

2.   Un mínimo relativo (o mínimo local) en un punto c si existe un d > 0 tal que f(c) £ f(x), para todo xΠ(c-d, c+d).

Los máximos y mínimos relativos de f reciben el nombre común de extremos relativos de f.

Ejemplo

En la gráfica vemos que f tiene un máximo en algunos puntos respecto a ciertos intervalos y no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además, parece que la manera de obligar a esos puntos a ser extremos es escoger intervalos suficientemente pequeños para producir una colina local o un valle. Esta es la idea esencial de la definición anterior. La colina más alta corresponde al máximo absoluto de f y el valle más profundo corresponde al mínimo absoluto. Las otras colinas y los otros valles corresponden a los máximos locales.

Un máximo local o un mínimo local, son un máximo o un mínimo, sólo para una parte del dominio de la función.

Teorema (Teorema del punto crítico para extremos locales).

Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.

Hallar Extremos de un Intervalo Cerrado.

Para hallar los extremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b], se sugiere:

1.     Evaluar f en cada punto crítico que tenga en (a, b).

2.     Evaluar f en los puntos a y b.

3.     El menor de tales valores es el mínimo; el mayor es el máximo.

Funciones Crecientes y Decrecientes

Definiciones

1.      Una función f se dice que es creciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números x₁ y x₂ en el intervalo, x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂).

2.      Una función f se dice decreciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números x₁ y x₂ en el intervalo, x₁ < x₂ implica f(x₁) > f(x₂).

3.      Una función f es estrictamente monótona sobre el intervalo I si y solo si es creciente o decreciente sobre I.

De esta definición vemos que f es creciente si su gráfica asciende al mover x hacia la derecha y es decreciente si desciende al mover x hacia la derecha.

La derivada va a determinar cuándo una función es creciente, pues como lo indica la figura:

•  Una   derivada positiva indica que la pendiente de la gráfica asciende.

•  Una derivada negativa produce pendiente en descenso.

•  Una derivada nula implica que la función es constante.

Teorema (Criterio para funciones crecientes y decrecientes).

Sea f una función derivable en el intervalo (a, b).

1.     Si  f '(x) > 0 para todo x en (a, b) entonces f es creciente en (a, b).

2.     Si  f '(x) < 0 para todo x en (a, b) entonces f es decreciente en (a, b).

3.     Si  f '(x) = 0 para todo x en (a, b) entonces f es constante en (a, b).

1.2 Diferencial de una función

1.2 Diferencial de una función

Al incremento de la variable independiente x se le llama dx, a la función f(x)dx se le llama diferencial de y o dy.

f' (x)∆x=f' (x)dx=dy

Se observa que ∆x=dx, pero  ∆y≠dy. Recordemos que ∆y representa el incremento de la función.

∆y=f(x+∆x)-f(x)

Por lo que ∆y≈dy

De esta forma f(x+∆x)=f(x)+∆y

Pero como ∆y≈dy 

f(x+∆x)≈f(x)+f''(x)dx

Ejemplos

1) Determine el valor aproximado de √25.4

√25.4=f(x+ ∆x) 

f(x)= √x       ⇒  f '(x)=1/(2√x)

x=5             ⇒   ∆x=dx=0.4  

f(x+∆x)≈f(x)+f ' (x)dx

√25.4  ≈ √25+0.4/(2√25)

√25.4  ≈ 5+(4/10)/10

√25.4  ≈ 5+4/100

√25.4 ≈ 5.04

2) Determine el valor aproximado de √37

√37=f(x+ ∆x)

f(x)= √x        ⇒      f''(x)=1/(2√x)

x=6              ⇒      ∆x=dx=1  

f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)dx

√37  ≈ √36+1/(2√36)

√37  ≈ 6+1/12

√37  ≈ 6+0.83

√37  ≈ 6.83

3) Determine el valor aproximado de 1/√96

1/√96=f(x+ ∆x) 

f(x)=  1/√x      ⇒       f '(x)=-1/(2√(x^3 ))

x=100            ⇒       ∆x=dx=-4  

f(x+∆x)≈f(x)+f^' (x)dx

1/√96  ≈  1/√100-1/[2√((100)^3 )](-4)

1/√96  ≈ 0.1- [(5×10)^(-4)] (-4)

1/√96  ≈ 0.1+(2×10)^(-3)

1/√96  ≈ 0.102

1.3 Máximo y mínimo.

1.3 Máximo y mínimo.

Una función tiene un máximo absoluto en c, si f(c) >f (x) para toda x que pertenece a D, donde D es el dominio de la función. De manera análoga f tiene un mínimo absoluto en D, si f(c) < f(x) para toda x que pertenece a D.

De acuerdo a la gráfica

Una función posee un máximo relativo o local si f(c) > f(x) cuando está en un intervalo que contiene a c. De forma similar tiene un mínimo local si f(c) < f(x), cuando está en un intervalo que contiene a c.

En la gráfica f(a) > f(x) es un máximo local en el intervalo [P,B).

En la gráfica f(d) < f(x) es un mínimo local en el intervalo [C,Q).

Si la derivada es positiva la función es ascendente f(x) > 0.

Si la derivada es negativa la función es ascendente f(x) < 0.

Si f´(x) cambia de + a – la sunción tiene un máximo.

Si f´(x) cambia de - a + la sunción tiene un mínimo. 

Ejemplo:

Dada la función f(x)= 3x⁴ - 4x³ -12x² + 5, determine los puntos máximos y mínimos, así como los intervalos donde crece la función y donde decrece.

Grafique.

1.3.2 Criterio de la primera derivada.

             1)    Derivar la función:

             f´(x)= 12x³ – 12x² – 24x

             2)    Igualar a 0 f´(x) y resolver para x.

             12x³ – 12x² – 24x=0

             12x (x²-x-2)=0

             12x=0

             X₁=0

             (x-2)(x+1)=0

             x-2=0

             x₂=2

             x+1=0

             x₃= -1

            3)    Dividir la recta real en intervalos de acuerdo a X₁, X_2,  y  X_3.

                   

              Intervalos donde la función crece y decrece.

              Crece en (-1,0) U (2,∞)

              Decrece en (-∞,-1) U (0,2)

       5)    Criterio de la segunda derivada.

             f ``(x)=36x²-24x-24

      6)    Igualar a 0 y resolver para x.

                     

            36x²-24x-24=0

                       X₁= 1.21 

                       X₂= -0.55

          CA= Cóncava hacia arriba en (-∞,-0.55) U (1.21∞,)

             Si f ``(x) es positiva entonces f ``(x) > 0  entonces CA

             Si f ``(x) es negativa entonces f ``(x) < 0  entonces CAB

             Si f ``(x) cambia de + a – o de – a + f(x) tiene puntos de inflexión.

       8)    Graficar.